Område 5 · lektion 27

Utväxling och kraft

En liten motor snurrar fort och orkar nästan ingenting. Det du vill ha är oftast tvärtom: något som går långsamt och orkar mycket. Utväxlingen är bytet mellan de två, och den är ingen ny fysik — moment, kraft och friktion hade du i din tidigare kurs. Den här guiden tar tillbaka dem, sätter siffror på dem i just ditt bygge, och lägger till det som alltid glöms: att bytet inte är gratis.

Mål

Du kan räkna ut utväxlingen ur två kugghjuls tandtal, och därur både utgående varvtal och utgående moment.
Du kan förklara varför moment upp betyder varvtal ned, med effekten som argument, och räkna på hur mycket varje kuggingrepp kostar.
Du kan gå baklänges: från kravet på ditt bygge — vad det ska orka och hur fort — till den utväxling du behöver.
Du kan räkna ut var två kugghjul ska sitta i förhållande till varandra för att gå ihop.

Genomgång

Moment är kraft gånger avstånd

Repetition från servoguiden, för att alla tal nedan vilar på den:

M = F · r

Momentet M mäts i newtonmeter (N·m), kraften F i newton och avståndet r i meter, räknat vinkelrätt från axeln ut till där kraften verkar. Samma moment ger alltså liten kraft långt ut och stor kraft nära axeln.

Kraften från en massa som hänger i jordens dragningskraft är

F = m · g, med g = 9,82 m/s²

Ett halvt kilo väger alltså

F = 0,500 · 9,82 = 4,91 N

och hänger det i en trumma med radien 20 mm behövs

M = 4,91 · 0,020 = 0,0982 N·m

Nästan en tiondels newtonmeter för ett halvt kilo. Det är storleksordningen att ha i huvudet: en liten motoraxel utan växel lämnar hundradelar av en newtonmeter. Vänd på räkningen och se vad det räcker till på samma trumma. Med 0,01 N·m blir det

F = M / r = 0,01 / 0,020 = 0,50 N, alltså m = 0,50 / 9,82 = 0,051 kg

och med 0,05 N·m fem gånger mer, alltså ungefär 0,25 kg. Några tiotal till ett par hundra gram — inte i närheten av det halva kilot ovan. Mellanskillnaden är precis vad utväxlingen ska stå för.

Kugghjulsparet

Två kugghjul som griper i varandra måste flytta lika många tänder per sekund — annars skulle de bryta sönder varandra. Ur det enda villkoret följer allt annat.

z1 och z2 är tandtalen. Figuren visar 12 och 24 tänder, alltså en utväxling på 2. Dina egna hjul har andra tal.
n1 och n2 är varvtalen, i varv per minut.
De två pilarna går åt olika håll. Två kugghjul som griper direkt i varandra snurrar alltid åt motsatta håll. Det är ett fel som upptäcks först när mekanismen går baklänges, och det rättas i koden genom att kasta om riktningssignalerna.
Hjulen måste ha samma modul för att gå ihop — se räkningen om axelavstånd längre ned.

Utväxlingen i definieras som förhållandet mellan tandtalen:

i = z2 / z1

och varvtalen förhåller sig omvänt mot tandtalen:

n1 / n2 = z2 / z1 = i, alltså n2 = n1 / i

Momentet går åt andra hållet. I den ideala växeln, utan förluster:

M2 = M1 · i

Många tänder på det drivna hjulet betyder alltså lågt varvtal och högt moment. Ett hjul med fler tänder är större, och det stämmer med hävstångstanken: kraften i kuggingreppet är densamma på båda hjulen, men det stora hjulet har längre arm ut till sin axel.

Räknat exempel 1: ett kugghjulspar

Din motor lämnar 200 varv per minut och 0,05 N·m på sin axel. Du sätter ett hjul med 12 tänder på motoraxeln och låter det driva ett hjul med 36 tänder.

i = z2 / z1 = 36 / 12 = 3

n2 = n1 / i = 200 / 3 = 66,7 varv/min

M2 = M1 · i = 0,05 · 3 = 0,15 N·m i den ideala växeln

Verkligheten tar sitt. Ett kuggingrepp har en verkningsgrad kring 95 till 98 procent; räkna med 97 procent för raka kugghjul som är någorlunda rena och rätt monterade:

M2 = 0,15 · 0,97 = 0,1455 N·m ≈ 0,15 N·m

Kontrollera med effekten. Effekt i en roterande axel är moment gånger vinkelhastighet, och vinkelhastigheten fås ur varvtalet:

ω = 2π · n / 60

På motoraxeln:

ω1 = 2π · 200 / 60 = 20,94 rad/s

P1 = M1 · ω1 = 0,05 · 20,94 = 1,047 W

På utgående axel:

ω2 = 2π · 66,7 / 60 = 6,98 rad/s

P2 = M2 · ω2 = 0,1455 · 6,98 = 1,016 W

1,016 / 1,047 = 0,970 = 97 %

Precis de 97 procent vi räknade med, vilket är själva kontrollen: effekten in är effekten ut plus förlusterna, alltid. Går dina tal inte ihop på det sättet har du räknat fel någonstans.

Vad blir det i kraft? Sätt en trumma med radien 15 mm på den utgående axeln och linda en tråd på den:

F = M2 / r = 0,1455 / 0,015 = 9,7 N

vilket i massa är

m = F / g = 9,7 / 9,82 = 0,99 kg

Knappt ett kilo. Samma motor utan växel, på samma trumma, hade orkat

F = M1 / r = 0,05 / 0,015 = 3,33 N, alltså m = 3,33 / 9,82 = 0,34 kg

alltså en tredjedel så mycket:

0,99 / 0,34 = 2,9 gånger

Priset är att trumman snurrar tre gånger långsammare. Att lyftet blev knappt tre gånger större och inte precis tre är samma 97 procent som förut, och det är värt att lägga märke till: kontrollen håller åt båda hållen. Ett kugghjulspar som påstods ge tio gångers kraft vid tre gångers nedväxling hade fällts av samma räkning på en rad.

Räknat exempel 2: två steg, och vad de kostar

En utväxling på 3 räcker sällan. Vill du ha mycket får du kedja ihop flera steg, och då multipliceras utväxlingarna — men det gör förlusterna också.

Motor: 3 000 varv per minut och 0,010 N·m. Steg ett har 10 tänder som driver 40, steg två 12 tänder som driver 36.

i1 = 40 / 10 = 4

i2 = 36 / 12 = 3

i = i1 · i2 = 4 · 3 = 12

n_ut = 3 000 / 12 = 250 varv/min

M_ut = 0,010 · 12 = 0,120 N·m i den ideala växeln

Nu ligger det två kuggingrepp i vägen, och verkningsgraderna multipliceras:

0,97 · 0,97 = 0,9409, alltså 94,1 %

M_ut = 0,120 · 0,9409 = 0,113 N·m

Knappt sex procent borta. Är hjulen av plast, smutsiga eller lite fel monterade är 95 procent per steg närmare sanningen:

0,95 · 0,95 = 0,9025

M_ut = 0,120 · 0,9025 = 0,108 N·m

Skillnaden mellan de två antagandena är knappt fyra procentenheter på ett bygge med två steg. På fem steg blir den betydligt större:

0,97⁵ = 0,859, alltså 14 % borta

0,95⁵ = 0,774, alltså 23 % borta

Slutsatsen är praktisk: färre steg med större hjul slår fler steg med små, när det går. Och det som försvinner blir värme och ljud i växeln — det är där du känner den om du tar på en växellåda som gått en stund. En växel som blir varm är en växel som förlorar effekt, precis som en L298N som blir varm.

Räkna baklänges: från kravet till utväxlingen

I ett bygge går räkningen sällan framlänges. Du vet vad mekanismen ska göra, och frågan är vilken utväxling som behövs.

Räknat exempel 3. En hiss ska lyfta 200 gram med 5 centimeter i sekunden. Trumman har radien 10 mm. Motorn lämnar 200 varv per minut och 0,010 N·m.

Först kraften, och därur momentet trumman behöver:

F = m · g = 0,200 · 9,82 = 1,96 N

M = F · r = 1,96 · 0,010 = 0,0196 N·m

Sedan varvtalet. En punkt på trummans yta rör sig med hastigheten v = ω · r, alltså

ω = v / r = 0,05 / 0,010 = 5,0 rad/s

n = ω · 60 / (2π) = 5,0 · 60 / 6,283 = 47,7 varv/min

Utväxlingen som ger det varvtalet:

i = 200 / 47,7 = 4,2

Välj ett par som ligger nära, till exempel 12 och 48 tänder, alltså i = 4. Kontrollera båda kraven med det valet.

n_ut = 200 / 4 = 50 varv/min

ω_ut = 2π · 50 / 60 = 5,24 rad/s

v = ω · r = 5,24 · 0,010 = 0,052 m/s

Fem komma två centimeter i sekunden mot kravet fem — bra nog. Och momentet:

M_ut = 0,010 · 4 · 0,97 = 0,0388 N·m

0,0388 / 0,0196 = 1,98

Nästan dubbel marginal. Det är ungefär vad man vill ha, och skälet är allt det räkningen inte tog med: friktion i lager, en lina som inte är viktlös, en trumma som inte är helt rund, och framför allt att lasten ska komma i gång och inte bara hållas i rörelse. En marginal på under 1,5 gånger brukar betyda ett bygge som fungerar tomt och står stilla med last.

Var kugghjulen ska sitta

Två kugghjul går ihop bara om de har samma modul, som är måttet på hur stora tänderna är. Modulen betecknas m och mäts i millimeter. Diametern på den tänkta cirkel där hjulen rullar mot varandra — delningsdiametern — är

d = m · z

och avståndet mellan de två axlarna ska vara summan av de två radierna:

a = (d1 + d2) / 2 = m · (z1 + z2) / 2

Räknat exempel. Modul 1 mm, 12 och 36 tänder:

d1 = 1 · 12 = 12 mm

d2 = 1 · 36 = 36 mm

a = (12 + 36) / 2 = 24 mm

Alltså 24 millimeter mellan axelcentrum, och det ska mätas och borras, inte provas fram. Sitter hjulen för nära kärvar de och drar ström; sitter de för långt isär hoppar de över tänder under last. Båda felen låter, och båda syns som en drivkrets som blir varm utan att något rör sig som det ska.

Rem, kedja och snäckväxel

Kugghjul är inte enda sättet, och tre alternativ är värda att känna igen.

Överföring	Utväxling	Rotationsriktning	Kommentar
Kugghjulspar	`z2 / z1`	Motsatt	95–98 % per ingrepp. Kräver rätt axelavstånd
Rem eller kedja	`d2 / d1` eller `z2 / z1`	Samma	Tål slarv i avståndet. En slirande rem överför inget moment
Kuggrem	`z2 / z1`	Samma	Som rem, men kan inte slira. Vanlig i skrivare och 3D-skrivare
Snäckväxel	Ett varv på snäckan per tand på hjulet	90° vinkel mellan axlarna	Stor utväxling i ett steg, men bara 40–60 % verkningsgrad. Ofta självhämmande

Självhämmande betyder att växeln går att driva åt ena hållet men inte åt det andra: motorn kan vrida hjulet, men hjulet kan inte vrida motorn tillbaka. En last hänger alltså kvar när strömmen bryts, utan broms och utan att något behöver hålla emot. Det är en egenskap man betalar för — halva effekten blir värme i växeln — och den återkommer i industriexemplet nedan.

I industrin och i vardagen

I industrin: ett transportband i en packlinje drivs av en växelmotor med snäckväxel. Motorn är på 0,25 kW och går 1 400 varv per minut; växeln har utväxlingen 40. Räkna igenom hela kedjan.

ω1 = 2π · 1 400 / 60 = 146,6 rad/s

M1 = P / ω1 = 250 / 146,6 = 1,71 N·m på motoraxeln

n2 = 1 400 / 40 = 35 varv/min

M2 = 1,71 · 40 · 0,55 = 37,6 N·m

Med en drivtrumma på 100 mm i diameter, alltså radien 0,05 m, blir banddragkraften

F = M2 / r = 37,6 / 0,05 = 752 N

och bandhastigheten

ω2 = 2π · 35 / 60 = 3,67 rad/s

v = ω2 · r = 3,67 · 0,05 = 0,18 m/s = 11 m/min

Lägg märke till vad snäckväxeln kostar. Av motorns 250 W kommer

250 · 0,55 = 138 W

ut på trumman, och

250 − 138 = 112 W

blir värme i växelhuset. Nästan hälften. Varför väljer man ändå den? För att bandet ofta lutar, och en självhämmande växel gör att lasten står kvar när strömmen bryts — vid ett nödstopp, vid ett strömavbrott, eller mitt i natten. Alternativet är en effektivare kuggväxel plus en mekanisk broms som måste finnas, hålla och underhållas. Ingenjörsvalet är alltså inte "vilken växel har bäst verkningsgrad" utan "vad kostar det att lösa säkerhetsfrågan på det andra sättet".

I vardagen: en cykel är en växellåda du kan räkna på genom att titta. Främre drevet har 50 tänder och det minsta bakre 16:

i = 50 / 16 = 3,125 hjulvarv per trampvarv

Trampar du 80 varv i minuten snurrar hjulet

80 · 3,125 = 250 varv/min

och med ett hjul som rullar 2,10 m per varv blir farten

250 · 2,10 = 525 m/min = 31,5 km/h

Lägsta växeln, 34 tänder fram och 28 bak:

i = 34 / 28 = 1,21

80 · 1,21 = 97 varv/min

97 · 2,10 = 204 m/min = 12,2 km/h

Samma ben, samma trampfrekvens, knappt fyra tiondelar av farten. Och i utbyte:

3,125 / 1,21 = 2,6 gånger så stort moment på hjulet

Det är precis samma byte som kugghjulsparet gör i ditt bygge, med den skillnaden att kedjan bevarar rotationsriktningen medan ett kuggingrepp vänder den. Cyklisten byter alltså inte kraft mot fart för att motorn ändras — effekten från benen är ungefär densamma i båda växlarna — utan för att backen kräver moment och plattmarken kräver varvtal. Precis det valet gör du när du väljer tandtal till bygge 4.

Kravställ ditt bygge 4

Bygge 4 bygger på hela året. Det är ett bedömt mekatroniskt system som ska sammanföra mekanisk struktur, elektroteknik och styrteknik, och det ska — precis som bygge 3 — börja i en sensor. Hela kravlistan står på bygge 4:s sida. Det du ska bestämma nu är vad du bygger.

Sex frågor att svara på innan du bygger

Vad ska mekanismen göra, i en mening med enhet? "Lyfta 200 gram tjugo centimeter på fyra sekunder" är en mening som går att räkna på. "En hiss" är det inte.
Vilken sensor bestämmer? Kedjan ska börja i en givare. LDR, NTC, potentiometer, HC-SR04 eller en knapp med ändläge — allt du använde i område 4 duger. Skriv ned vad givaren mäter och vilken regel som gör om mätvärdet till ett beslut om riktning eller fart.
Vilken motor, och vad drar den? Driftström och stoppström, mätta med multimetern. Utan de talen går det inte att välja drivkrets, och de är dessutom ett eget krav.
Vilken drivkrets, och vilken matning? Räkna drivkretsens spänningsfall och välj batteri därefter, som i förra guiden.
Vilken utväxling, och varför just den? Räkna baklänges som i exempel 3 ovan. Tandtal, utväxling, väntat varvtal och väntat moment — innan du skruvar.
Vad händer när något går fel? Vad gör bygget om mekanismen kör i botten, om givaren ger ett omöjligt värde, eller om strömmen bryts mitt i en rörelse? Ett bestämt beteende i de tre fallen är skillnaden mellan ett bygge och en demonstration.

En vecka mellan kravlistan och bygget Bygge 4 byggs på lektion 28, alltså veckan efter den här. Det är kursens kortaste marginal, och de 55 minuterna på passet räcker till felsökning och färdigställande — inte till att bygga från noll. Påsklovet låg före det här passet, inte efter, så tiden hemma har du redan haft. Kom med mekaniken ihopsatt och motorn snurrande, så blir passet det det ska vara.

Prova själv

Räkna tänderna på de kugghjul eller remskivor du har. Skriv upp tandtalen och räkna ut alla utväxlingar som går att bygga med dem. Det är fem minuter som sparar en timme senare.
Mät modulen. Mät hjulets ytterdiameter och dela med tandtalet plus två — det ger modulen med god noggrannhet. Räkna sedan ut axelavståndet för det par du tänkt använda, och jämför med det du redan borrat eller tänkt borra.
Mät motorns varvtal. Sätt en tejpbit på axeln, filma med telefonen i slow motion och räkna varv per sekund, eller räkna varv under tio sekunder på den utgående axeln om den går långsamt nog. Räkna om till varv per minut.
Kontrollera utväxlingen genom att mäta. Kör motorn, räkna varv på båda axlarna under samma tid, och jämför förhållandet med z2 / z1. Ligger det uppmätta lägre är det slir eller överhoppade tänder — inte matematik.
Mät momentet du faktiskt får ut. Linda en tråd på trumman, häng på en känd vikt, och öka tills motorn inte orkar lyfta. Räkna M = F · r med den största vikt som gick, och jämför med vad du räknade fram. Det här är byggets bästa enskilda mätvärde.
Mät strömmen samtidigt. Läs av strömmen tomgående och med den största lasten. Jämför med stoppströmmen du mätte i den första guiden. Nu ser du med egna ögon varför den är det tal som styr drivkretsen.
Känn på växeln efter fem minuters drift. Är den ljummen är det förlusterna du räknade på. Är den het sitter något fel — för nära axelavstånd, snedställda axlar eller för mycket last.

Kontrollfrågor

En motor på 300 varv/min och 0,02 N·m driver via 10 och 50 tänder. Vad blir varvtal och moment ut, med 97 procents verkningsgrad?

i = 50 / 10 = 5. Varvtalet blir 300 / 5 = 60 varv/min och momentet 0,02 · 5 · 0,97 = 0,097 N·m. Kontroll med effekten: ω1 = 2π · 300 / 60 = 31,4 rad/s ger P1 = 0,02 · 31,4 = 0,628 W, och ω2 = 2π · 60 / 60 = 6,28 rad/s ger P2 = 0,097 · 6,28 = 0,609 W. Förhållandet 0,609 / 0,628 = 0,97, som väntat.

Du behöver 0,08 N·m på utgående axel. Motorn lämnar 0,015 N·m. Vilken utväxling behövs som minst, med 97 procent per steg?

Ideellt 0,08 / 0,015 = 5,3, men förlusten ska in: 5,3 / 0,97 = 5,5. Alltså minst 5,5, och då är det exakt på gränsen — välj hellre 8 eller 10 så att bygget också orkar starta med last. Ett par med 12 och 96 tänder ger 8, eller två steg på vardera 3 ger 9.

Varför kan man inte få både högre varvtal och högre moment ur en växel?

Därför att effekten är moment gånger vinkelhastighet, och en växel kan inte skapa effekt. Den kan bara byta den ena storheten mot den andra, och förlorar dessutom några procent i varje ingrepp. Går båda upp i din räkning har du räknat fel.

Din mekanism går åt fel håll. Vad gör du?

Kastar om de två riktningssignalerna i koden — en rad, ingen skruvmejsel. Att det blev fel håll är för övrigt normalt: ett kugghjulspar vänder rotationsriktningen, medan en rem eller kedja behåller den, så det beror på hur många ingrepp mekanismen har.

Modul 1,5 mm, 16 och 40 tänder. Var ska axlarna sitta?

d1 = 1,5 · 16 = 24 mm och d2 = 1,5 · 40 = 60 mm, alltså a = (24 + 60) / 2 = 42 mm mellan axelcentrum. Utväxlingen blir 40 / 16 = 2,5.

Bygget lyfter lasten men bara om du hjälper det i gång med fingret. Vad är fel?

Momentmarginalen är för liten. Räkningen gällde att hålla lasten i rörelse, men att sätta något i rörelse kräver mer: vilofriktionen är större än rullfriktionen, och lasten ska dessutom accelereras. Öka utväxlingen, eller minska trummans radie — båda ger mer moment på bekostnad av fart.

Varför använder man en snäckväxel som bara har 55 procents verkningsgrad?

För att den ofta är självhämmande. Lasten står kvar när strömmen bryts, utan broms och utan hållmoment från motorn. Det man betalar med är värme i växeln — nästan halva effekten — och det man slipper är en mekanisk broms som ska finnas, fungera och underhållas.

Vanliga fel

Axelavståndet är provat fram i stället för räknat. För nära ger kärvning och hög ström, för långt ger överhoppade tänder under last. Räkna a = m · (z1 + z2) / 2 och borra på det måttet.
Hjulen har olika modul. De ser ut att gå ihop och gör det på tomgång, men de sliter på varandra och hoppar under last. Två hjul ur olika satser är sällan kompatibla.
Utväxlingen valdes efter fart och inte efter moment. Mekanismen går fint tom och står stilla med last. Räkna momentet också, och sikta på ungefär dubbel marginal.
Förlusterna är inte medräknade. Ett bygge dimensionerat exakt på ideala tal fungerar inte. Fem procent per ingrepp låter lite och blir mycket i flera steg.
Trumman gjordes stor för att det såg bra ut. Kraften är momentet delat med radien, så en dubbelt så stor trumma halverar lyftkraften. Radien är ett konstruktionsval, inte en detalj.
Axlarna är inte parallella. Kugghjulen tar bara i kanten, låter illa och slits fort. Kontrollera med ögat mot bordskanten innan du drar åt.
Motorn sitter i ett fäste som fjädrar. Kraften i kuggingreppet trycker isär hjulen, avståndet växer under last, och tänder hoppar över. Ett mjukt fäste ger ett fel som bara uppstår när det är tungt.
Rotationsriktningen räknades inte. Ett ingrepp vänder, två vänder tillbaka. Rita pilarna i schemat innan du bygger, så slipper du upptäcka det efteråt.

Vidare

Den här guiden innehåller ingen ny kod och inget nytt i språket. Vill du lägga omräkningen från tandtal till varvtal i en egen funktion — vilket är en bra idé, eftersom talet behövs på mer än ett ställe — ligger mönstret i Funktioner.

Nu är området genomgånget: motorn får inte sitta på en pinne, drivkretsen löser det, PWM ger farten och utväxlingen ger kraften. Kvar är att sätta ihop alltihop till ett system som börjar i en givare.

Nästa sida är Bygge 4 – motor med drivkrets och utväxling. Det är kursens fjärde bedömda system och den sista övningen innan slutprojektet, där du gör allt det här utan en kravlista skriven av mig.